هندسه نا اقلیدسی و انحنای فضا

در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیرخط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایارا با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمیرسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توانموازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توانبه عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند ونتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات “اصل توازی” مبتکر مفهوم عمیقی درهندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابقگزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد وراه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دوهزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدینترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدیدقرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.
اصطلاحات بنیادیریاضیات
طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود ازقبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجوددارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنانانجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهمآشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشتهباشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.
بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط درواقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یک وقتبراتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن میگوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.
دلیل آن این است که برخی ازاصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنهااصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیمبه جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یکبتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه یقضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند،بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.
بنابراین،ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً درآن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده یکهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن رادرهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.
اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی
هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکلگرفت:
۱) از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
۲) هر پارهخط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
۳) می توان دایرهای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
۴) همه ی زوایای قایمه با هم مساوی اند.
۵) از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنهایک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصولرا نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهتداشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد

/ 0 نظر / 21 بازدید